Brahmagupta: Ten, který objevil Nic. Příběh o historii nuly v matematice.

  • Starověké číselné soustavy dlouho neznaly nulu
  • Civilizace, které s nulou pracovaly, byly zase tak vzdálené, že se jejich vědění nedokázalo rozšířit
  • Dílo indického matematika Brahmagupta dostali do Evropy až muslimští nájezdníci
Brahmagupta: Ten, který objevil Nic. Příběh o historii nuly v matematice | Foto: Prathu134, CC BY-SA 4.0

Některé vynálezy jsou tak převratné, že trvalo mnoho staletí, než se k nim lidstvo dopracovalo. My je dnes přitom používáme s naprostou samozřejmostí a vůbec nám nepřipadnou jako něco zvláštního. Učí se o nich žáčci základních škol a jsou běžnou součástí našich životů. Ale vše musel někdo vynalézt, na vše musel nějaký ten chytrý mozek přijít. To platí i o obyčejné nule.

Nejdříve se počítalo na prstech. Jeden prst, dva, tři. I proto je ostatně základem naší soustavy desítka, tedy počet prstů na obou rukou. Třeba Mayové se k původu z prstů hlásili, měli zvláštní znak pro pětku, který byl v jejich poziční soustavě dost důležitý.

Jakkoliv naši předci sice dokázali dát do souvislosti číslo s počtem prstů, nula jim dlouho unikala. My to dnes nechápeme, není přece problém si představit žádný prst a přiřadit k němu číslo. Bylo to ale tak.

Babylónská číselná soustava

Tento číselný systém se zrodil někdy kolem roku 2000 př.n.l. a je tedy nejstarší známou poziční soustavou vůbec. Babylónská soustava je zajímavá i tím, že jejím základem je číslo 60, nikoliv 10, jak je tomu u nás. Není třeba se tomu divit, protože číslo 60 je mnohem vhodnějším, než naše desítka – taková soustava totiž umožňuje pohodlné a celočíselné dělení mnoha různými čísly, nejen čísly 2 a 5 či 10, ale i 3, 4, 6, 12, 15 atd. To v době, kdy nebyl jasný koncept desetinných čísel (místo nich se používaly zlomky), bylo velmi důležité.

Klepněte pro větší obrázek
Babylonské klínopisné číslice

Díky vysokému základu lze velká čísla zapsat mnohem úsporněji. Z našeho pohledu je ale poněkud komplikovanější počítání v tomto systému, protože když máte 59 číslic, tak to zkrátka trošku drhne.

Pozůstatky této soustavy přetrvávaly dlouho a některé jsou s námi dodnes. Ještě před stovkou let tu byly pojmy jako kopa či tucet. A minuta má 60 sekund, hodina 60 minut a den 24 hodin. To je také dědictví po mezopotámských civilizacích.

Babylonská soustava nebyla jen poziční, ale jako první obsahovala i symbol pro nulu. Tedy symbol – zprvu prostě na tom řádu psaného čísla, kde nebyla žádná hodnota, vynechali prázdné místo. Později vynalezli jednoduché dva šikmé klíny, které ho symbolizovaly. Nebyla to tedy nula, jak ji známe dnes, ale pouze značka, že zde v čísle nic není.

Ještě celkem jednoduché to měla nula jakožto číslice tam, kde se stala součástí poziční číselné soustavy. To se netýkalo starých Řeků či Římanů, kteří k něčemu takovému nikdy nedospěli, ale například Mayové byli trochu dál. Obvykle se to řešilo nějakým speciálním znakem, či prostě prázdným místem tam, kde bylo třeba nula desítek či stovek.

Co je poziční soustava?

V článku mnohokrát zmiňujeme termín poziční soustava. Wikipedie ho definujetakto:

Poziční soustava je dnes převládající způsob písemné reprezentace čísel. Hodnota každé číslice je dána její pozicí v sekvenci symbolů. Každá číslice má touto pozicí dánu svou váhu pro výpočet celkové hodnoty čísla, zpravidla zprava doleva se vzrůstající váhou. Celá část je oddělena od zlomkové speciálním znakem, zpravidla řádovou čárkou či tečkou. Patrně historicky posledním nezbytným předpokladem pro vynalezení pozičních soustav bylo objevení symbolu pro nulu.

Výhodou tohoto způsobu zápisu je velká pružnost a poměrně malá množina číslic. Za nevýhodu je považována velmi snadná změna hodnoty čísla pouhým připsáním číslice před původní číslo.

Číselná soustava starých Římanů

Římské číslice jsou vcelku dodnes běžně známé, proto jenom stručně. Číslo se sestavovalo postupným skládáním ze základních symbolů pětky, desítky a posléze některých vyšších hodnot.

Využívalo se přitom pravidlo, že znak pro jednotku uvedený před příslušným symbolem znamená číslo nižší, zatímco za ním vyšší – konkrétně IX znamená devět, XI pak jedenáct. To samé lze aplikovat se symbolem V pro pětku, L pro padesátku, C pro stovku, D pro pětistovku a M pro tisícovku.

Klepněte pro větší obrázek
Římské číslice dnes nejčastěji vídáme na cifernících hodin

Soustava není poziční, čísla se vytváří „hromaděním“ příslušných symbolů, takže například 2017 se římskými číslicemi zapíše jako MMXVII. To na první pohled nevypadá tak „strašně“, ale zkuste si tímto způsobem zapsat nějaké opravdu velké číslo, třeba hodnotu našeho státního dluhu. Budete mít problém s místem. A samozřejmě druhým zádrhelem jsou početní operace v tomto systému – kolik je například MMMCMXCVIII + MCMLIV?

Je to možná paradoxní, ale i tento číselný systém získal mnohem později (až za středověku) symbol pro nulu – N. Ten za starého Říma nebyl používán, ale protože se římské číslice ujaly a vytrvale na nich lpěli vzdělanci i dávno po pádu věčného města, byly učiněny pokusy, jak jej vylepšit. Leč ani to nepomohlo a postupně se vlády ujaly arabské (původně tedy indické) číslice, jakkoliv proti tomu církev brojila.

U starých Řeků a později Římanů měla nula solidní problém. A to nejen nula jako symbol „prázdného místa“ ale nula jako nic. Proč? Zásadní důvody byly dva. Jednak ani jeden z těchto národů neznal poziční numerickou soustavu.

Když nemáte poziční soustavu, nepotřebujete symbol pro nic, prostě to zapíšete slovy. První Řek, který symbol pro „nic“ používal, byl Klaudios Ptolemaios, vrcholný řecký matematik a astronom. Samozřejmě, používal ji pouze jako symbol pro „nic“, nikoliv jakožto symbol, s nímž by bylo možné provádět matematické operace.

Klepněte pro větší obrázek
Klaudios Ptolemaios byl řecký geograf, matematik, astronom a astrolog, který žil a pracoval v egyptské Alexandrii

Antická matematika byla značně navázána na geometrii. Ve chvíli, kdy si matematické operace představujete geometricky, tak je nula a s ní spojená záporná čísla něco, co je naprosto abstraktní až nepochopitelné. Jak si chcete představit třeba úsečku o „záporné“ délce? Stejný problém budete mít s úsečkou či jakýmkoliv geometrickým objektem o nulové velikosti. Na nepochopení nuly i nekonečna byly postavené i například známé Zenónovy paradoxy.

Z tohoto důvodu to měla nula a především záporná čísla v antice špatné. Výsledky výpočtů, které vedly k záporným číslům, byly považovány za absurdní. To tvrdil například jeden z největších matematiků Diofantos o rovnici 4x + 20 = 0, která vede k výsledku -5.

Mayská číselná soustava

Mayská matematika byla v mnoha ohledech na vyšší úrovni než ta římská. Kvůli dlouhému a krátkému počtu svého kalendáře pracovali Mayové s hodnotami, ke kterým Římané nikdy nedospěli. Právě proto museli vytvořit početní soustavu, v níž se s velkými čísly dalo jednoduše pracovat a která v principu dokázala zapsat jakékoliv číslo. Jejich soustava je sice složitější než ta naše, ale je také poziční.

Je také velmi pravděpodobné, že svou soustavu stejně jako mnohé své matematické vědomosti Mayové nevynalezli, ale převzali od svých předchůdců Olméků. Tato první mezoamerická civilizace je ale natolik tajemná, že přesné detaily bohužel neznáme.

Klepněte pro větší obrázek
Způsob zápisu mayských číslic

Základem mayského numerického systému je dvacítka, tedy počet prstů na rukou i nohou. Dalším zásadním číslem je pětka, zobrazená jako čárka. Mayové znali i symbol pro nulu, byl to symbol lastury.

Jednotka je zobrazená pomocí tečky, pětka pomocí čárky, a to vše v kombinacích až do čísla 19. Od čísla dvacet a výše se tento vyšší řád píše o řádku (respektive u Mayů o glyf) výše. Další následující řád je tedy 202, tedy 400, a tak dále. Touto soustavou lze tedy vyjádřit jakékoliv vysoké číslo, pokud máte patřičně vysokou stélu, na kterou je chcete vytesat.

Klepněte pro větší obrázek
Vyšší čísla se zapisovala znaky umístěnými nad sebou (zdroj: Wikipedia)

Mayové dějiny matematiky ale bohužel nijak neovlivnili. Atlantický oceán představoval navzdory některým fantastickým teoriím spolehlivou hradbu pro přenos jakýchkoliv myšlenek. Takže ve chvíli, kdy byl konečně překonán, už neměla mayská matematika starému světu co nabídnout.

Pozoruhodné vlastnosti nuly

Byl tu i problém filozofický. Největší z antických filozofů, Aristoteles, přece jasně prokázal, že prázdno jako takové neexistuje. Příroda má z prázdnoty strach. A nula, to byl vlastně pouze zástupný symbol pro prázdnotu, pro nic. Nemohla proto existovat.

K tomu se přidávalo i matematické nepochopení, protože nula má značně podivuhodné vlastnosti, zcela odlišné od jiných čísel. Například při sčítání platí, že výsledek sčítání jakéhokoliv čísla s nějakým jiným je větší než oba sčítance. Všechna reálná čísla se podřizují tomuto pravidlu – kromě nuly. Součet jakéhokoliv čísla s nulou je opět pouze to číslo. Podobné pravidlo platí i pro odečítání, kde nula opět znamená naprostou výjimku.

Stejně tak se podivné věci dějí u násobení. Násobení jakéhokoliv čísla jiným (větším, než 1) znamená navýšení. Číselná osa jakoby se pomyslně „protáhla“ o příslušný násobek. U násobků nižších než 1 dochází naopak k jejímu smršťování. Jenže v případě nuly číselná osa zcela kolabuje. Jakékoliv číslo násobené nulou je opět nula. No a dělení? To vypadalo naprosto tajuplně. Co by vlastně mělo být výsledkem dělení nulou? To nikdo nechápal

Číňané a jejich matematika

Na druhé straně euroasijského kontinentu to ale bylo o něco lepší. V Číně věřili v dualitu světa v principech jing a jang, takže nebyl problém těmto protikladným silám přiřadit též protikladná, tedy kladná a záporná čísla. Číňané tedy byli jediným národem, který neměl se zápornými čísly žádnou potíž s jejich pochopením.

Kdyby jen to – dokonce vymysleli velice šikovný způsob jejich zápisu. Základy čínské matematiky jsou popsány v knize „Devět traktátů o matematickém umění“, který sepsal neznámý vědec někdy kolem přelomu letopočtu.

Zde se právě prvně objevuje počítání se zápornými čísly, která jsou psána červeným inkoustem (zatímco ta kladná černým). Kladná čísla byla nazvána ziskem, zatímco záporná ztrátou. Touto v podstatě účetní úvahou bylo možné jednoduše pochopit nejen záporná čísla, ale i základní početní operace s nimi.

Čínský číselný systém

Nejstarší čínský číselný systém, vzniklý za dynastie Šang, byl sice desítkový, ale nikoliv poziční. Čísla se psala tak, že za konkrétní číslicí následoval symbol pro konkrétní řád – tedy např. 218 by se vyjádřilo jako 2 100 1 10 8.

Později, kolem roku 500 př. n. l., byl tento systém nahrazen jiným, tentokrát už pozičním, který znal nulu. Reprezentovali ji prázdné místo v číselném zápisu. Systém zvaný „počítací hůlky“ byl velice jednoduchý – čísla 1–5 se psala pomocí čárek, šestka byla jakési velké T, tedy čárka s příčkou, no a vyšší čísla pouze přidávala čárky k oné příčce.

Soustava byla poziční, takže vyšší řády se psaly o znak před jednotkami, přičemž byl vymyšlen velice šikovný trik. Aby se jasně rozlišil řád, psaly se jednotky jako vertikální čárky, desítky jako čárky horizontální, stovky opět vertikální atd. Tudíž i bez vynechaného prázdného místa pro nulu bylo možné lehce rozlišit jednotlivé řády. Později přibyl pro nulu přímo konkrétní znak – kroužek.

Jenže starý svět měl zase smůlu. Čína byla příliš dalekou mocností, odkud se sice sem tam vrátil nějaký ten obchodník s nákladem hedvábí, ovšem matematické znalosti se touto cestou nepředávaly. A s nulou jako číslem si nevěděla rady ani orientální matematika. Naštěstí se objevil spasitel, který si s tím zapeklitým problémem poradil.

Není jasné, kdy se největší indický středověký matematik narodil. Uvádějí se léta 596 nebo 598. Stejné je to s rokem jeho úmrtí, který bývá odhadován na 670. Narodil se ve městě Bhillamala, dnešním Bhinmalu ve státě Rádžasthán.

Žil v době počátků Gurdžárské říše, které tehdy vládl král Vaghramukha. O něm víme ještě méně než o Brahmaguptovi a vlastně o celé této době je vlastně známo velice málo. Nejvíce víme díky spisu jednoho z největších čínských cestovatelů. Süan-cang, budhistický mnich, se totiž zrovna tehdy vydal do Indie, aby se zde nechal poučit o budhismu. Cestu přežil, po 17 letech putování dorazil zpět a o své cestě zanechal dnes nesmírně cenné zápisky.

Brahmagupta sám v nich nefiguruje, protože mnicha matematika nezajímala. O jeho životě proto taky téměř nic nevíme. I místo narození bývá zpochybňováno, stejně jako údaj, že se koncem života přesunul do města Ujjain, kde snad také zemřel.

Není však zpochybňováno jeho dílo. Své matematické a astronomické spisy psal ve verších, ale to tehdy bylo mezi indickými matematiky běžné. Spisy byly celkem dva. V roce 628, tedy zhruba ve svých třiceti letech, sepsal stěžejní dílo Brāhmasphuṭasiddhānta („Opravené pojednání Brahmovo“). Ve stáří, v 67 letech pak vytvořil Khanda-khādyaka, což byla v podstatě učebnice astronomie.

Knihu Brāhmasphuṭasiddhānta tvoří 25 kapitol. Původních bylo prvních deset, ty další přidával Brahmagupta v průběhu života. Knihou se prolíná astronomie s matematikou. Je zde například obecný vzorec na výpočet obsahu trojúhelníku, či objemu pravidelného čtyřstěnu, Je zde zmíněna funkce cosinus a pravidla pro součty číselných řad a mnohé další.

A zcela mimochodem je zde užívána indická číselná soustava, kterou dodnes používáme. Brahmagupta ji sice nevynalezl, ale díky jeho dílu se stala slavná a postupně vytlačila veškerou konkurenci.

To hlavní, co Brahmagupta objevil, byla ale nula a základní početní operace s ní. Záporná čísla nazývá dluh, kladná zisk a početní operace popisuje slovně: „Zisk odečtený od nuly je dluh. Součin nebo podíl dvou dluhů je zisk“ atd. Úplně jen nezvládl bylo dělení nulou. Tvrdil, že 0 / 0 = 0, což není tak úplně pravda, ale na to se přišlo až za tisíc let.

Infinitezimální počet neboli kalkul(us) je obor matematiky, blízký matematické analýze, jehož hlavními částmi jsou diferenciální a integrální počet s důležitými pojmy derivace a integrálu, které propojuje tzv. základní věta integrálního počtu. (Wikipedie)

Díky tomuto dílu je Brahmagupta právem považován za jednoho z největších matematiků všech dob. Jako první zkrotil nulu, což byl základní předpoklad pro budoucí infinitezimální počet. Byl tedy v tomto směru předchůdcem Leibnitze a Newtona, největších matematiků 17. století.

Jak se Brahmagupta dostal do Evropy

K tomu, aby se Brahmaguptova práce a myšlenky staly známé v tehdy zcela barbarské Evropě, byla ale ještě dlouhá cesta. Základem tohoto úspěchu bylo dobytí této části Indie muslimskými vojsky v roce 712. Během vlády kalífy Al Mansúra dorazil na jeho dvůr učenec Kanaka, který se Brahmaguptovy knihy naučil nazpaměť a mohl je tedy zde přednést. Jak jsme si už řekli, šlo o texty psané ve verších, což se pro zapamatování hodilo.

Na druhé straně, poslouchat verše v sanskrtu nebylo pro Araby zrovna terno, takže se nelze divit, že je astronom Mohammed al Farazí přeložil do arabštiny. Díky tomu se v arabských zemích rozšířil indický početní systém, který my známe jako „arabské číslice“.

Překlad byl základem obrovského rozmachu arabské matematiky, který vrcholil o století později za slavného perského matematika jménem Abú Abd Alláh Muhammad Ibn Músá al-Chórezmí Abú Dža’far, které se z praktických důvodů zkracuje na Al-Chorezmí.

Klepněte pro větší obrázek
Socha Al-Chorezmího v uzbecké Chivě, kde se pravděpodobně narodil

Ten sepsal knihu nazvanou Kitáb al-džám’a wa-l-tafríq bil-hisáb al-hindi, učebnici sčítání a odčítání indických číslic. Tato kniha byla posléze ve 13. století přeložena do latiny pod názvem Algorithmi de numero indorum, což posléze vedlo k přenesení jména tohoto velkého matematika pro název výpočetního postupu – algoritmu.

Klepněte pro větší obrázek
Stránka ze zmíněného aritmetického traktátu

Tímto postupem se Brahmaguptovo dílo stalo známým nejen v muslimském světě, ale i v Evropě. Už nic nebránilo tomu, aby na něj navázali ostatní vědci, inspirovali se a dovedli matematiku do výšin, které by byly pro dávného indického mudrce zcela nepředstavitelné.

To hlavní, co jim přitom pomohlo, byla právě nula. Jakkoliv se to zdá nepochopitelné, bez nuly by byla matematika i celý náš svět chudší o mnoho vynálezů a objevů. Je až neuvěřitelné, jak zásadně důležité je pouhé nic…

prevzate z www.vtm.zive.cz

Pridaj komentár